Алгебра 2021/2022 ПИ

Преподаватели и учебные ассистенты

Лектор	Чернышев Всеволод Леонидович
Группа	БПИ211	БПИ212	БПМИ213	БПИ214	БПИ215	БПИ216	БПИ217	БПИ218	БПИ219	БПИ2110	БПИ2111
Семинаристы	Чернышев Всеволод Леонидович	Шипицына Алина Денисовна	Михайлец Екатерина Викторовна	Михайлец Екатерина Викторовна	Шипицына Алина Денисовна	Медведь Никита Юрьевич	Зайцева Юлия Ивановна	Максаев Артем Максимович	Зароднюк Алёна Владимировна	Зайцева Юлия Ивановна	Смурыгин Владимир Александрович
Ассистенты	Никита Игумнов	Дмитрий Шагаров	Полина Овчинникова и Ярослава Новоселова	Николай Романцов и Дарья Давидко	Лев Тулявко и Илья Колб	Иван Дедов	Ася Арунова	Семен Кондаков и Анна Шипиль	Алексей Зобнин	Соня Иванова	Евгений Плющ

Консультации

Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов.
В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.

Прошедшие лекции

Лекция 08.09.2021. Матрица. Равенство матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование, произведение. Единичная матрица и нулевая матрица. Свойства операций над матрицами: коммутативность и ассоциативность сложения, существование нейтрального элемента по сложению.

Лекция 15.09.2021. Свойства операций над матрицами: транспонирования, умножения. Некоммутативность умножения матриц.
Доказательство ассоциативности умножения матриц, доказательство связи умножения и транспонирования. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Замечание о том, что элементарные преобразования строк могут быть реализованы как умножения слева на матрицы специального вида. Формулировка теоремы о методе Гаусса.

Лекция 22.09.2021. Доказательство торемы о методе Гаусса.
Системы линейных алгебраических уравнений: координатная и матричная запись, расширенная матрица системы. Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Умножение подстановок. Свойства умножения подстановок. Общая формула для определителя произвольного порядка. Пример вычисления для матриц второго и третьего порядков.

Лекция 29.09.2021 Свойства определителя, в частности: определитель транспонированной матрицы, линейность определителя по столбцам, кососимметричность, достаточные условия обнуления. Утверждение о том, что определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить линейную комбинацию других строк. Определитель единичной матрицы. Утверждение о том, что кососимметричность для линейной функции эквивалентна обнулению на паре совпадающих элементов. Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице. Доказательство этого утверждения для случая квадратной матрицы 2-го порядка.

Лекция 06.10.2021. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Свойства определителя, в частности: разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Определение детерминанта с помощью индукции. Определитель произведения двух квадратных матриц (доказательство с помощью линейности и кососимметричности). Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка.

Лекция 13.10.2021. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Союзная матрица. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Единственность решения СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей. Минор. Ранг матрицы.

Лекция (консультация) 03.11.2021. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.
Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о базисном миноре.

Лекция 10.11.2021.Следствия теоремы о базисном миноре (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы). Два способа вычисления ранга. Доказательство утверждения о методе окаймляющих миноров. Однородные и совместные СЛАУ. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. (доказательство необходимости).

Лекция 17.11.2021. Теорема Кронекера-Капелли (завершение доказательства). Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений.
Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Лекция 24.11.2021. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.
Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Формула Муавра.

Лекция 01.12.2021. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами.

Лекция 08.12.2021. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.

Лекция 15.12.2021. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.

Лекция 12.01.2022. Пересечение, объединение и разность множеств, их декартово произведение. Отображения множеств: cюръективность и инъективность. Биекция. Образ и полный прообраз.
Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактормножество. Бинарные операции. Ассоциативная бинарная операция. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

Лекция 19.01.2022. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Циклическая группа. Пример бесконечной и конечной циклической подгрупп. Таблица Кэли. Ядро гомоморфизма.

Лекция 26.01.2022. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра. Прямое произведение групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Примеры групп: группа диэдра. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы.

Лекция 02.02.2021. Следствия теоремы Лагранжа: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному; малая теорема Ферма. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп. Естественный гомоморфизм. Примеры.

Лекция 09.02.2022. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Простые группы. Пример. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.

Лекция 16.02.2022. Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Подкольцо. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей. Подполя: примеры. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры.

Лекция 02.03.2022. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец.
Характеристика поля. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое.

Лекция 09.03.2022. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства.
Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Размерность пространства решения однородной СЛАУ.

Лекция 16.03.2022. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.
Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств. Сумма подпространств.

Лекция 23.03.2022. Сумма и прямая сумма подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Понятие проекции на подпространство вдоль другого подпространства. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы.

Лекция 06.04.2022. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.

Лекция 13.04.2022. Связь билинейных и квадратичных форм. Понятие алгебры над полем, примеры (включая кватернионы).
Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Пример. Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. Линейные отображения линейных пространств. Матрица линейного отображения.

Лекция 20.04.2022. Утверждение о преобразовании матрицы линейного отображения при замене базисов. Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена.
Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр.
Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения.

Лекция 27.04.2022. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.
Скалярное произведение как симметрическая, положительно определенная билинейная форма. Определение евклидова пространства.

Лекция 11.05.2022. Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.

Лекция 18.05.2022. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и множеством (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия. Формула для расстояния через определители матриц Грама.

Лекция 26.05.2021. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов (пока тоже только формулировка).

Лекция 01.06.2022 Доказательство теоремы о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение).

Лекция 08.06.2022. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Утверждение о QR-разложении. Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении.